整数 a, b, c, m について
     　b=ac のような c が存在する場合は b は a で整除されるといい、
     　b を a の倍数、a を b の約数という。

     　　たとえば 6=3･2 であるから 6 は 3 で整除され、したがって
     　　6 は 3 の倍数、3 は 6 の約数である。

     　b が a で整除されることを a|b で表す。
     　このとき、つぎのような関係が成り立つ。

 　　   　(1) m|a , m|b  ならば　m|(a±b)   

　　　    (2) m|a かつ b は任意の整数ならば m|ab

 　　　   (3) a|b , b|c  ならば  a|c





 102-1 上の (1) , (2) , (3) を証明せよ。



      m|(a-b) であるとき、a≡b(mod m)
       と表して、a と b は m を法として合同であるという。

     　　たとえば、15|(46-16) だから　46≡16(mod 15) である。


      一つの集合 M の要素(元) a , b について、a〜b なる関係がある
     ものとそうでないものがあり、つぎの３つの性質をみたしているとき、
     このような関係を同値関係という．




    反射律　　　a〜a

　  対称律      a〜b  ならば　b〜a

　  推移律      a〜b , b〜c  ならば　a〜c

      このような３つの性質を同値律といい、a〜b なるとき、a , b は
     同値であるという。
      また、一つの定まった要素と同地な要素の全体をその要素を含む類
     (同値類）という。


      日常生活においてもこのような考えは無意識に行われているので
     あって、たとえば７日の倍数だけ異なった日を同値であると考え、
     そのようにして得られた類の各々に日曜日、月曜日、･･･等の名称
     が与えられる。
     　このように一つの集合に同値関係を導入して類に分割することを
     類別という。


     　整数の問題に戻って考えると、
     与えられた m に対して”a と b が m を法として合同である。”
     という関係は同値律をみたしている。

       いいかえれば



  a≡a(mod m)

  a≡b(mod m)  ならば b≡a(mod m) 

  a≡b(mod m) , b≡c(mod m) ならば　a≡c(mod m)

       が成り立っている。