さて、

　　　　　Z の要素 a , b の組 (a,b) ( b ≠ 0 ) の全体 において、
 　　　   同値(という関係)〜を次のように定義する。




　(a,b) 〜 (c,d) とは ad = bc 　のことである



 　　　　そうすればこの関係はつぎの 同値律の３つの法則 に従う。

　　　　・反射律　(a,b) 〜 (a,b)
　　　　・対称律  (a,b) 〜 (c,d) ならば (c,d) 〜 (a,b)
　　　　・推移律  (a,b) 〜 (c,d)  かつ  (c,d) 〜 (e,f) 
                                ならば (a,b) 〜 (e,f)

 　　　　証明について簡単に述べる。

　　　 ・反射律：明らか。 
                     
 　　　・対称律：(a,b) 〜 (c,d) は ad = bc なること
　　　　　　　　 (c,d) 〜 (a,b) は cb = da なること 
         　　　  に注意すれば正しいことが分る。

　　   ・推移律：仮定の２式により ad = bc , cf = de だから 
　　　　　　　　 第１式に f ,第２式に b を乗じて　
  　             adf = bcf , bcf = bde    ∴ adf = bde 
　　　　　　　   (c,d) において d ≠ 0 であるから、
　　　　　　　　 簡約律( cf:101.(13))により d を約して 
  　             af = be    ∴ (a,b) 〜 (e,f)  //

             証明自体は別段オモシロクも何ともありません。
　　　　　　　　　　　　　　 　

　　       ( a , b ) は 分数 a/b = ab-1 に相当する概念を整数だけを
           既知とし除法を未知であるものとして導入した記号である。また、
　　       (a,b) 〜 (c,d) 即ち ad = bc は ab-1 = cd-1 を除法を用い
　　       ないで表したものである。

　　　　　以上によって有理数の概念は整数の除法を用いない性質だけで論
　　　　　じられることが分った。
　　　　　さらに進んで (a,b) , (c,d) の和、積をつぎのように定義する。


 
　　(a,b) + (c,d) = (ad + bc,bd)

    (a,b)(c,d) = (ac,bd)

        以上において 〜 の関係で同値な組の全体（すなわち１つの 類 )
        は１つの有理数を表すものと考え、和と積を上のように定義すれば 
       次のようにして１つの 体 が得られていることが分る。

    　単位元の存在：
　    　   a,b が 0 でなければ (a,a) 〜 (b,b) なることが容易に分り、
          (a,a)(b,d) = (ab,ad) 〜 (b,d) なることから 
           (a,a) の属する類を任意の類に乗じても始めの類に等しく
　         単位元の役をつとめる。
　       　始めに述べた事実 (a,a) 〜 (b,b) は単位元の役をつと
　       める (a,a) , (b,b) , ･････ 等が同値なものは区別しないもの
    　　 　とすれば本質的には同じこと、 
    　　　　　　      (即ち 類 C(a,a) = C(b,b) = ･･･)
           したがってこのようにして単位元が１つだけ得られていること
    　　　 を示す。

        逆元 の 存在：
             (0,b) + (c,d) = (bc,bd) 〜 (c,d) であるから 
             (0,b) の形の元は 零元 の役をつとめる。
　　　       したがって 逆元の存在（ 202.(10) に相当する関係 ) は
　　       　(a,b) において a≠0 ならば
　　       　 (a,b)(x,y) 〜 (c,c) のような x , y , c が存在する。”
　          と云い表される。そのためには
　　        (a,b)(b,a) = (ab,ab)
             なる関係を考慮に入れれば十分である。

   　　少し難しくなってきたが･･････より簡単に･･･、
　  　( a , b )は単に２つの 数aとbを横に並べた組( ordered pair )
    　　であり、,a/b,,a割るbなどの分数を形を変えて表した
    　　ものである･･･と思えば･･･分数や割り算と同じ仕組みであるから 
    　　少し分りやすくなるのではないだろうか･･････。


 　　　　　このようにして得られた類 C( a , b ) を元とする体 P は、
   　　　　 整数環 Z と類似な構造をもつ部分集合 Z~ を含む。  

  　　　　  何故かと云うと、
　　　　　　  Z の元 a に ( ac , c ) の属する類 C( ac , c ) を対応
  　　　　  させればよい。
　　　　　　ここに c  は Z の 任意の 0 でない元である。

　　　　　　このような対応を a →a~ = C( ac , c ) と表すとき、
   　　　　 次のような事実が成立する。




 (11) C(ac,c)=C(ad,d)( 即ち(ac,c)〜(ad,d) )

 (12) a~=b~ならばa=b     
　　( 即ち異なるa,bが下図の左のように同じa~=b~に対応しないで
　　　　　　　右のように対応する。

 (13) a+b→a~+b~( (a+b)~=a~+b~と書いてもよい)

 (14) ab→a~b~　( (ab)~=a~b~と書いてもよい）


　　　　　上の関係の中で (14) だけについて証明を与える。

 　　　　　abに対する像 a~b~は=C(abc,c) であり、

 　　　　　a~,b~ はそれぞれC(ac,c) , C(bc,c)であるから

　　 　　　(abc,c)〜(ac,c)(bc,c)を証明すればよい。

　　　　　右辺は (acbc,cc)〜(acb,c)であるから左辺と同じ類に属する

　  　　　こととなり、証明が終る。//



    　　　以上からZとZ~は所謂１対１の対応をなし、(13),(14)によって

　　　　　加法、乗法に関する限り全く同じ構造を持つことが分った。

　　



    このことをZとZ~が同型 

    であると云ってZZ~と表す。

    以上の結果を図示すれば右図の

    ようになる。






  　　数学では混同の恐れのない場合は類似の性質のもの
      (とくに同型な代数系）を同じものと考えることが多い。


　 　　たとえば、黒板の上に書いた 3 と紙の上に
 　　書かれた 3 とは異なるものであるが、数学的な
 　　考察においては同じものと考えても混同を生ずる
　　　ことはない。
　　　このような意味で Z と Z~ は本質的には同じも
　　　のと解釈すれば上の図は右の図のようになって、

　   整数の環が１つの体の中に部分環として含まれることが分った。
　   以上の証明には整数環が整域であることだけの事実を用いている 
     ことに注目すれば つぎの定理が得られる。

　   定理：任意の整域を含む 体 が必ず存在する。

　   このような 体 のことを 始めの整域の 商体 (field of quotients)
     という。